Összefoglalás VIII. [analizis]

Integrálási technikák

Parciális integrál (K2 227.o)

Határozott integrálra

Parciális törtekre bontás(K2 227.o)

1. Legyen x-r a nevezőben szereplő g(x) egy osztója. Tegyük fel, hogy (x-r)^m a legmagasabb fokú hatványa x-r-nek, amellyel g(x) osztható. Ekkor, ehhez a tényezőhöz a következő parciális törtek összegét rendeljük: . Csináljuk ezt meg g(x) összes különböző elsőfokú osztójával!

2. Legyen x²+px+q egy másodfokú osztója g(x)-nek. Tegyük fel, hogy (x²+px+q)ⁿx²+px+q-nek, amellyel g(x) osztható. Ehhez a tényezőkhöz a következő parciális törtek összegét rendeljük: Csináljuk ezt meg g(x) összes olyan különböző másodfokú osztójával, amely nem bontható tovább két elsőfokú polinom szorzatára. a legmagasabb fokú hatványa

3. Írjuk fel azt az egyenletet, hogy f(x)/g(x) egyenlő az összes felírt parciális tört összegével! Szorozzuk meg mindkét oldalt a közös nevezővel, azaz g(x)-szel!.

4. Írjuk fel azt a lineáris egyenletrendszert, amely az x azonos hatványai együtthatóinak egyenlőségéből adódik! Az egyenletrendszer megoldása megoldja az ismeretlen együtthatók értékét.

Impropius integrálok (K2 278.o)

I. Azokat az integrálokat, amelyekbe az integrációs tartomány végtelen, I. típusú improprius integrálnak nevezzük.

1. Ha f(x) folytonos az [a,] intervallumon, akkor

2. Ha f(x) folytonos az [-,b] intervallumon, akkor

3. Ha f(x) folytonos az [-,] intervallumon, akkor

II. Azokat az integrálokat, amelyekbe az integrandus az intergrációs tartomány egyik pontja körül nem korlátos, II. típusú improprius integrálnak nevezzük.

1. Ha f(x) folytonos az (a,b] intervallumon,de x→a⁺ esetén nem korlátos akkor

2. Ha f(x) folytonos az [a,b) intervallumon,de x→b^- esetén nem korlátos akkor

3. Ha f(x) folytonos az [a,c) (c,b]-ben intervallumon, x→c esetén nem korlátos, akkor

Összehasonlító kritérium (K2 227.o)

Legyenek f és g az [a,b) intervallumon folytonos függvények, melyekre minden xaf(x)g(x) teljesül. Ekkor mellett 0

1. Ha kovergens, akkor is konvergens

2. Ha divergens, akkor is divergens.

Összefoglalás VII. [analizis]

Transzcendens függvény

Injektív, invertálható (K2 139.o)

A f(x) függvényt a D halmazon injektívnek nevezzük, ha tetszőleges (x₁,x₂)D esetén abból, hogy x₁x₂, f(x₁)f(x₂) következik.

Legyen az f injektív függvény értelmezési tarománya a D, értékkészlete pedig az Rf függvény f ^-1 inverzét az összefüggéssel értelmezzük. Az f ^-1 függvény értelmezési tartománya az R, értékkészlete pedig a D halmaz. Az halmaz.

Inverz függvény deriváltja (K2 144.o)

Legyen az f függvény az I intervallumon értelmezett injektív függvény. Ha f az If’(x) derivált egyetlen pontban sem 0, akkor az f ^-1 inverz függvény az értelmezési tartománya minden pontjában differenciálható, az (f^-1)’ deriváltfüggvény értéke pedig az f ^-1 függvény értelmezési tartományának egy b pontjában f’ deriváltfüggvény a= f ^-1(b) pontbeli értékének reciproka: vagy másképp: . minden pontjában differenciálható és az

Természetes alapú logaritmus (K2 149.o)

Az e szám a természetes logaritmus értelmezési tartományának az az eleme, amelyre

A természetes alapú exponenciális fügvény (K2 160.o)

Tetszőleges x valós szám esetén (Bizonyítás is!)

Az e szám mint határérték (K2 162.o)

Az e szám a következő határértékként is megadható

Általános hatványszabály (K2 163.o) (Bizonyítás is!)

Ha u az x változó differenciálható pozitív függvénye és n tetszőleges valós szám, akkor uⁿ is differenciálható függvénye x-nek, és

Exponenciális változás (K2 172.o)

Az exponenciális változás képlete: y=y₀e^kt. Ha k>0, akkor y növekszik, ha k<0, style="">k állandó adja meg a növekedés ütemét.

Függvény növekedési üteme, amint x→ (K2 180.o)

Tegyük fel, hogy elegendően nagy x-ek esetén az f(x) és a g(x) függvényértékek csak pozitívak.

1. Azt mondjuk, hogy f gyorsabban növekszik, mint g, amint x→ vagy ezzel ekvivalens, ha . Ebben az esetben azt is mondhatjuk: g lassabban növekszik, mint f, amint x→

2. Azt mondjuk, hogy f és g ugyanabba az ütembe növekszik, ha valamely véges pozitív L számmal.

Ha és akkor .

Kis ordó (K2 181.o)

Az f függvény kisebb rendű, mint a g függvény, amit x→, ha ; jelölése: f=o(g) (kiolvasása:,,f egyenlő kis ordó g”).

Nagy ordó (K2 182.o)

Legyenek f és g olyan függvények, amelyek elegendően nagy x-ek esetén kizárólag pozitív értéket vesznek fel. Azt mondjuk, hogy x→ esetén f legfeljebb olyan ütembe növekszik, mint g,ha van olyan pozitív M szám, amellyel elegendő nagy x-ek estén . Ezt így jelöljük: f=O(g) (kiolvasása:,,f egyenlő nagy ordó g”).

Összefoglalás VI. [analizis]

Riemann összeg (K2 21.o)

Tekintsünk az [a,b] zárt intervallumon egy tetszőleges f függvényt. Az f függvény mind pozitív, mind negatív értéket is felvehet. Osszuk fel az [a,b] intervallumot nem feltétlenül egyenlő hosszúságú részintervallumokra, és képezzünk összegeket a véges közelítés módszerével. Vállaszuk ki elősször is a és b között n-1 olyan pontot, legyenek ezek {x₀,x₁,x₂,…,x_n-1,x_n}, amelyekre teljesül, hogy

a12<…<>n-1.

A következetesség érdekében jelöljük a-t x₀-lal, b-t x_n-nel, így

a=x₀12<…<>n-1<>n=b.

A

P={x₀,x₁,x₂,…, x_n-1, x_n}

halmazt [a,b] felosztásának nevezzük.

A P felosztást [a,b]-t n zárt intervallumra osztja fel, melyek a következők:

[x₀,x₁],[x₁,x₂],…,[x_n-1,x_n].

P első részintervalluma az [x₀,x₁], a második [x₁,x₂], a k-adik részintervallum
[x_k-1,x_k] intervallum. k az 1 és n közé eső egész szám.

Az első [x₀,x₁] részintervallum hosszát jelölje Δx₁, a második [x₁,x₂] részintervallum hosszát Δx₂, a k-adik részintervallumét Δx_k=x_k−x_{k-1. Ha az összes részintervallum ugyanolyan hosszú, akkor közös hosszuk} (b-a)/n, s ezt Δx-szel jelöljük.

Minden részintervallumnak kiválasztjuk egy pontját. A k-adik [x_k-1,x_k] részintervallumból kiválasztott pontot c_k-val jelöljük. Ezután mindegyik részintervallumra egy téglalapot rajzolunk, amely az x-tengelytől a görbe (c_k,f(c_k)) pontjáig nyúlik. A téglalapok az x-tenegy felett és alatt is elhelyezkedhetnek attól függően, hogy f(c_k) pozitív vagy negatív, vagy ha f(c_k)=0, akkor a téglalap degenerált, mindkét vízszintes éle az x-tengelyen fekszik.

Minden részintervallummal képezzük az f(c_k)·Δx_k szorzatot. Ez a szorzat f(c_k)f(c_k)>0, akkor az f(c_k)·Δx_k a Δx_kf(c_k) magasságú téglalap területe. Ha f(c_k)<0, style="">f(c_k)·Δx_k szorzat negatív, a Δx_k szélességű és az x-tengelytől negatív f(c_k) pontig nyúló téglalap területének az ellentétje. Végül ezeket összeadva azt kapjuk, hogy . Sp-t az f függvény [a,b] intervallumra vonatkozó Riemann-összegének, cagy más szóval integrálközelítő összegének, vagy téglányösszegnek nevezzük. előjelétől függően pozitív, negatív vagy nulla. Ha szélességű és

Határozott integrál

Határozott integrál, mint a Riemann-összegek határértéke (K2 25.o)

Legyen f(x) az [a,b] zárt intervallumon értelmezett korlátos függvény. Azt mondhatjuk, hogy az I szám az f függvény [a,b] intervallumon vett határozott integrálja és Riemann-összegek határértéke, ha teljesülnek a következő feltételek:

Bármely adott ε>0 számhoz van olyan δ>0 szám, hogy [a,b] minden olyan P={x₀,x₁,…,x_n} felosztásra, amelyre ||P||<δ, bárhogyan is választjuk ki c_k-t az [x_k-1,x_k] intervallumból teljesül, hogy .

Szabályok (K2 28.o)

1.

2.

3.

4.

5.

6. Maximum-minimum egyenlőtlenség: Ha f-nek van minimális és maximális értéke a [a,b] intervallumon, akkor

7. Domináció

f(x)g(x) az [a,b] intervallumon

f(x) 0 az [a,b] intervallumon

Görbe alatti terület (K2 30.o)

Ha y=f(x) az [a,b] intervallumon nem negatív és integrálható függvény, akkor az y=f(x) görbe alatti A terület:

Függvény átlaga (K2 32.o)

Ha f integrálható [a,b]-n, akkor az [a,b]-n vett átlagértéke, amit középértéknek is nevezünk

Középérték határozott integrálokra (K2 36.o) (Bizonyítás is!)

Ha f folytonos az [a,b] intervallumon, akkor valamilyen c[a,b]-re

Newton-Leibniz-tétel 1. része (K2 38.o) (Bizonyítás is!)

Ha f folytonos [a,b]-n akkor F(x)= is folytonos [a,b]-n, differenciálható (a,b)-n és deriváltja f’(x): .

Newton-Leibniz-tétel 2. része (K2 41.o) (Bizonyítás is!)

Ha f folytonos [a,b] minden pontjába, és F az f primitív függvénye az [a,b]-n, akkor.

Helyettesítési szabály (K2 49.o)

Ha u=g(x) függvény differenciálható az I intervallumon és f folytonos I-n, akkor .

Helyettesítés határozott integrálban (K2 55.o)

Ha g’ folytonos [a,b] intervallumon és f folytonos g értékkészletének halmazán, akkor .

Páros és páratlan függvények (K2 56.o)

Legyen f folytonos a szimmetrikus [-a,a] intervallumon.

a. Ha f páros, akkor .

b. Ha f páratlan, akkor

Görbék által határolt terület (K2 58.o)

Ha f és g az [a,b] intervallumon folytonos függvények, továbbá f(x)g(x), akkor az y=f(x) és y=g(x) görbék közötti taromány a és b közé eső darabjának területe az (f-g) függvény a-tól b-ig vett integrálja:

ेÖsszefoglalás V। [analizis]

Kapcsolt deriváltak (K1 201.o)

Becslés differenciálokkal (K1 209.o)

Linearizáció, lineáris közelítés

Ha f differenciálható az x=a pontban, akkor az L(x)=f(a)+f’(a)(x-a) közelítő függvényt az f függvény a-beli linearizációjának nevezzük. Az f függvény L-lel való f(x)≈L(x) közelítés az f függvény a-beli lineáris axiómájának vagy lineáris közelítésének nevezzük. Az x=a pont az approximálició középpontja.

Becslés differenciállal (K1 212.o)

Tegyük fel, hogy ismerjük a differenciálható f(x) függvény értékét az a pontban, és tudni szeretnénk, hogy ez az érték mennyit változik, ha a független változó értéke az a-hoz közeli a+dx értékét veszi fel. Hogy ha dx kicsi, akkor Δy közelítőleg egyenlő a dy differenciállal. Mivel f(a+dx)=f(a)+ Δy a differenciális közelítés azt adja, hogy f(a+dx)≈f(a)+dy ahol a dx=Δx. Tehát a Δy≈dy közelítést felhasználhatjuk f(a+dx) értékének kiszámítására, ha ismerjük f(a)-t és dx kicsi.

Differenciál

Legyen y=f(x) egy differenciálható függvény. A dx differenciál egy független változó, a dy differenciál pedig dy=f’(x)dx.

Alkalmazások

Abszolút maximum, minimum (K1 229.o)

Legyen f a D halmazon értelmezett függvény. Az f függvénynek a D halmaz valamely c pontjában abszolút maximuma van, ha f(x)f(c) minden xD estén;

a D halmaz valamely c pontjában abszolút minimuma van, ha f(x)f(c) minden xD estén;

Szélsőértéktétel (K1 230.o)

Ha f folytonos az [a,b] zárt intervallumon, akkor itt felveszi M abszolút maximumát és m abszolút minimumát is, van tehát az [a,b] intervallumban olyan x₁ és x₂ szám, amelyekre f(x₁)=m és f(x₂)=M, továbbá teljesül, hogy mf(x)Ma,b] intervallumhoz tartozó x értékre. minden más, az [

Lokális maximum, minimum (K1 231.o)

Az f függvény értelmezési tartománya valamely c belső pontjában lokális maximuma van, ha van olyan c-t is tartalmazó nyílt intervallum, hogy annak minden x elemére teljesül f(x)f(c).

Az f függvény értelmezési tartománya valamely c belső pontjában lokális minimuma van, ha van olyan c-t is tartalmazó nyílt intervallum, hogy annak minden x elemére teljesül f(x)f(c).

Az f függvénynek lokális maximuma vagy minimuma van az intervallum cx-re, amely az értelmezési tartomány valamely, a c-t is tartalmazó félig nyitott intervallumába esik. végpontjában, ha a megfelelő egyenlőtlenség fennáll minden olyan

Az első derivált és a lokális szélsőérték (K1 232.o)

Ha az f függvénynek lokális maximuma vagy minimuma van az értelmezési tartományának valamely c belső pontjában, és f’ értelmezve van a c pontba, akkor f’(c)=0.

Kritikus pont (K1 233.o)

Az f függvény kritikus pontjának nevezzük f értelmezési tartományának minden olyan pontját, amelyben az f’ deriváltfüggvény értéke nulla, vagy nincs értelmezve.

Rolle tétel (K1 239.o) (Bizonyítás is!)

Tegyük fel,hogy az f(x) függvény folytonos az [a,b] zárt intervallum minden pontjában és differenciálható [a,b] minden pontjában, azaz az (a,b) intervallumon. Ha f(a)=f(b) akkor létezik legalább egy olyan pont, amelyre teljesül, hogy f’(c)=0.

Lagrange-féle középértéktétel (K1 240.o)

Legyen az y=f(x) függvény folytonos az [a,b] zárt intervallumon és differenciálható annak belsejébe, azaz az (a,b) nyílt intervallumon. Akkor létezik legalább egy olyan c(a,b), amelyre

Következményei

1. Csak konstans függvények deriváltja nulla.

2. Azok a függvények, amelyeknek a deriváltja megegyezik, csak egy konstansba térnek el egymástól.

Növekvő, csökkenő függvény (K1 246.o)

Legyen f az I intervallumon értelmezett függvény.

1. Ha f(x₁)2) az I bármely olyan x₁ és x₂ pontjára, amelyre x₁2, akkor fI intervallumon. szigorúan monoton növekvő az

2. Ha f(x₁)>f(x₂) az I bármely olyan x₁ és x₂ pontjára, amelyre x₁>x₂, akkor fI intervallumon. szigorúan monoton csökkenő az

Első derivált tesz monoton függvényekre (K1 246.o) (Bizonyítás is!)

Tegyük fel, hogy f folytonos [a,b]-n és differenciálható (a,b)

Ha f’(x)>0 minden x(a,b) esetén, akkor f szig.mon növekvő az [a,b] intervallumon.

Ha f’(x)<0 style="">(a,b) esetén, akkor f szig.mon csökkenő az [a,b] intervallumon.

Első derivált és lokális szélsőérték (K1 248.o)

Tegyük fel, hogy c az f folytonos függvény egy kritikus pontja, és f differenciálható valamely c-t tartalmazó intervallum minden pontjában, kivéve esetleg magát a c pontot. Balról jobbra haladva_

1. ha f’ a c helyen negatívról pozitívra vált, akkor f-nek lokális minimuma van a c pontba.

2. ha f’ a c helyen pozitívról negatívra vált, akkor f-nek lokális maximuma van a c pontba.

3. ha f’ a c helyen nem vált előjelet, akkor f-nek a c helyen nincs lokális szélsőértéke.

Konvex, konkáv (K1 250.o)

A differenciálható y=f(x) függvény grafikonja

a. konvex a nyílt intervallumon, ha f’ növekvő az I-n.

b. konkáv a nyílt intervallumon, ha f’ csökkenő az I-n.

Második derivált tesz (K1 250.o)

Legyen f(x) az I intervallumon kétszeresen deriválható függvény.

1. Ha f’’>0 az I-n, akkor f grafikonja konvex az I intervallumon

2. Ha f’’<0 az I-n, akkor f grafikonja konkáv az I intervallumon

Inflexiós pont (K1 251.o)

Az olyan pontot, ahol a függvény grafikonjának van érintője és ahol a görbe konvexitása megváltozik, inflexiós pontnak nevezzük.

Második derivált és a lokális szélsőérték (K1 252.o)

Tegyük fel, hogy f’’ folytonos x=c pontot tartalmazó nyílt intervallumon.

1. Ha f’(c)=0 és f’’<0, style="">f-nek lokális maximuma van a x=c pontban.

2. Ha f’(c)=0 és f’’>0, akkor f-nek lokális minimuma van a x=c pontban.

3. Ha f’(c)=0 és f’’=0, akkor nem állíthatunk semmi biztosat. A függvények lehet lokális maximuma vagy minimuma, de lehet,hogy egyik sincs neki.

L’Hospital-szabály (K1 272.o)

Tegyük fel, hogy f(a)=g(a)=0, f’(a) és g’(a) létezik és g’(a)≠0. Akkor

Biz:

Cauchy-féle középértéktétel (K1 273.o)

Tegyük fel, hogy az f és g függvény folytonos az [a,b] és differenciálható az (a,b) intervallumon, továbbá minden x(a,b) esetén g’(x)≠0. Ekkor létezik olyan c(a,b), amelyre

Integrál számítás

Primitív függvény (K1 285.o)

Az F függvényt f primitív függvényének nevezzük az I intervallumon, ha F’(x)=f(x)I esetén. minden x

Határozatlan integrál (K1 285.o)

Az f függvény összes primitív függvényének halmazát az f függvény x szerinti határozatlan integráljának nevezzük, jelölése: . A jel az integráljel. Az fx az integrál változója. függvény az integrál integrandusa,

Összefoglalás IV. [analizis]

Differenciálás

Érintő

Az y=f(x) egyenletű görbe meredeksége a P(x₀,f(x₀) pontban:

(amennyiben a határérték létezik).

A görbe P-beli érintője a P-n átmenő, m egyenes.

Pontbeli érintő

1. Határozzuk meg az f(x₀) és az f(x₀+h) függvényértékeket.

2. Határozzuk meg az meredekséget.

3. Ha létezik ez a határérték, akkor a keresett érintő egyenlet:

Deriválfüggvények (K1 143.o)

Az f(x) függvény f’(x) deriváltfüggvénye az a függvény, amely minden x számhoz az határértéket rendeli, amennyiben ez a határérték létezik. Másképp

Ábrázlása (K1 146.o)

Egy y=f(x) függvény deriváltját gyakran f grafikonja meredekségének – több pontban elvégzett – becslés alapján ábrázoljuk. Ilyenkor az (x,f’(x)) pontokat folytonos vonallal kötjük össze, az így kapott görbe szerencsés esetbe az y=f’(x) deriváltfüggvénye jó közelítésnek tekinthető.

Jobb és baloldali derivált (K1 147.o)

Az y=f’(x) függvényt egy (véges vagy végtelen) nyílt intervallumon differenciálhatónak nevezzük,ha az inetervallum minden pontjába van deriváltja. Az y=f(x) függvény egy [a,b] zárt intervallumon differenciálható,ha az intervallum (a,b) belsejének minden pontjába differenciálható, a végpontokba pedig léteznek a

(jobb oldali derivált az a helyen)

(bal oldali derivált az a helyen)

határértékek

Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata (K1 149.o) (Bizonyítás is!)

Ha az f függvény az x=c helyen differenciálható, akkor ott folytonos is.

Darboux tétel (K1 150.o)

Ha a és b olyan intervallun pontjai, amelyen az f függvény differenciálható, akkor az f’ deriváltfüggvény f’(a) és f’(b) között minden értéket felvesz.

Fontos értékek

f(x) f’(x)

c 0

x 1

xⁿ nx^n-1

sin x cos x

cos x -sin x

tg x

ctg x

sec x sec x·tg x

csc x -csc x·ctg x

e^x e^x

a^x a^x·ln a

ln x

log_ax

arcsin x

arccos x

arctg x

Szabályok

· (c·f)’=c·f’

· (fg)’=f’ g’

· (f·g)’= f’·g+f·g’

·

·

· (f ⁿ)’=n·f ^n-1f’ (nZ)

· (f(g(x))’=f’(g(x))·g’(x)

· (K1 154.o) (Bizonyítás is!)

· (K1 157.o)

Változási sebesség

Pillanatnyi változási sebesség (K1 164.o)

Az f függvény pillanatnyi változási sebesség az x=x₀ helyen az derivált adja meg.

Sebesség (K1 164.o)

A (pillanatnyi) sebesség a test helyzetét megadó függvény idő szerinti deriváltja. Ha a test a t időpontban elfoglalt helyzetét az s=f(t) függvény adja meg, akkor a t időpontban a test sebessége:

Gyorsulás (K1 165.o)

A gyorsulás a sebesség idő szerinti deriváltja. Ha a test időbeli helyzetét az s=f(t)t pillanatba: függvény adja meg, akkor a test gyorsulása a

Trigonometrikus függvények

Szinusz (Bizonyítás is!)

Láncszabály

Ha az f(u) függvény differenciálható az u=g(x) helyen, a g(x) függvény pedig differenciálható az x helyen, akkor az (f◦g)(x)=f(g(x)) öszetett függvény differenciálható az x helyen és .

Leibniz-féle jelölésben: ha y=f(u) és u=g(x),akkor , ahol a dy/duu=g(x) helyen kell kiszámítani. deriváltat az

Paraméteresen megadott görbe (K1 185.o)

Ha az x=f(t), y=g(t) függvények értelmezési tartománya ugyanaz a t-intervallum, akkor a szóban forgó t-értékéhez tartozó (x,y)=(f(t),g(t)) ponthalmazt paraméteresen megadott görbének (néha egyszerűen paraméteres görbének) nevezzük. A fenti egyenletek a görbe paraméteres egyenletei.

A t változót ilyenkor a görbe paraméterének, az f és g függvények I értelmezési tartományát pedig a görbe paraméter-intervallumának nevezzük. Ha I egy [a,b] zárt intervallum, akkor az (f(a),g(a)) pontok a görbe kezdőpontjának, (f(b),g(b)) pontot a görbe végpontjának nevezzük. Ha megadjuk egy görbe paraméteres egyenleteit, akkor azt mondjuk, hogy paraméterezzük a görbét. Az I intervallum és a két egyenlet együtt a görbe paraméterezése.

Kör x²+y²=a²

a. x=cos t y=sin t 0t2π

b. x=a cos t y=a sin t 0t2π

Ellipszis

x=a cos t y=b sin t 0t2π

Függvény y=f(x)

x=t, y=f(t)

Deriváltak

,

Implicit deriválás (K1 195.o)

1. Az egyenlet mindkét oldalát deriváljuk x szerint, y-t az x differenciálható függvényének tekintve.

2. Rendezzük a dy/dx kifejezést tartalmazó tagokat egyenlet egyik oldalára.

3. Oldjuk meg az egyenletet dy/dx-re

Általános hatvány szabály (K1 198.o)

Az x^p/q függvény tetszőleges p/q racionális szám esetén az x^(p/q)-1 függvény értelmezési tartományának minden pontjába differenciálható, és . (Bizonyítás is!)

Összefoglalás III. [analizis]

Határérték a végtelenbe (K1 107.o)

Azt mondjuk,hogy az f függvény határértéke a végtelenbe L – jelölése: –, ha minden ε>0 számhoz létezik olyan M, amelyre teljesül, hogy minden x-re .

Azt mondjuk,hogy az f függvény határértéke a mínusz végtelenbe L – jelölése: –, ha minden ε>0 számhoz létezik olyan N, amelyre teljesül, hogy minden x-re .

Fontos határértékek

Ha α szöget radiánba adjuk meg,akkor (Bizonyítás is!)

cos α=1-2sin²(α/2)

Asszimptoták(K1 107.o)

Végtelen határérték

Azt mondjuk,hogy az f függvény határértéke az x₀ helyen végtelen , szimbolikusan , ha tetszőleges pozitív B számhoz létezik olyan δ>0 szám, amelyre teljesül, hogy minden x-re

.

Azt mondjuk,hogy az f függvény határértéke az x₀ helyen mínusz végtelen , szimbolikusan , ha tetszőleges negatív B számhoz létezik olyan δ>0 szám, amelyre teljesül, hogy minden x-re

.

Függőleges asszimptota

Az x=a egyenletű egyenes az y=f(x) függvény grafikonjának függőleges aszimptotája, ha , vagy ha .

Vízszintes aszimptota

Az y=b egyenletű egyenest az y=f(x) függvény grafikonja vízszintes aszimptotájának nevezzük, ha , vagy ha .

Ferde aszimptota

Az y=f(x) egyenletű görbének akkor és csak akkor van az y tengellyel nem párhuzamos, azaz ferde aszimptotája, ha az és , vagy és határértékek léteznek.

Ha ezek a feltételek teljesülnek, akkor az y=mx+c egyenletű egyenes a ferde aszimptota -ben, illetve −-ben. (Speciálisan, ha m=0, akkor vízszintes aszimptotáról beszélünk.)

Nagy léptékbe azonosnak tűnő grafikonok

Lgyen f(x)=3x⁴-2x³+3x²-5x+6 és g(x)=3x⁴. Mutassuk meg, hogy f és g − bár kisebb számok esetében jelentősen eltérnek − elég nagy abszolút értékű x-ek esetén jó közelítéssel azonosnak tekinthetők.

Biz:

Az f és g az origó környékén meglehetősen eltérően viselkednek, elegendően nagy léptéket választva azonban jó közelítéssel azonosnak tekinthetők. Ha kiszámítjuk az f és g függvény hányadosának határértékét, amin x→, akkor kiderül, hogy a f-ben valóban a 3x⁴ tag a domináns

Elég nagy abszolútértékű x-ek esetén tehát f és g jó közelítéssel azonosnak tekinthetők.

Folytonosság

Pontbeli folytonosság (K1 123.o)

Belső pont: az y=f(x) függvény értelmezési tartományának egy belső c pontjába folytonosnak nevezzük, ha .

Végtelen pont: az y=f(x) függvény értelmezési tartományának bal oldali a, ill. jobb oldali b végpontjába folytonosnak nevezzük, ha , illetve ha

Feltételek:

f(c) létezik, vagyis c eleme f értelmezési tartományának

létezik

Intervallumon való folytonos függvény (K1 125.o)

Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak minden pontjába folytonos.

Műveletek:

Ha f és g függvény egyaránt folytonos az x=c helyen, akkor ilyenek a következő függvények is:

1. f+g

2. f-g

3. f·g

4. k·f,k állandó

5. f/g, amennyiben g(c)≠0

6. f^r/s, ha f értelmezett egy c-t tartalmazó nyílt intervallumon, r és s pedig relatív prím egész számok, s≠0, és ha s páros, akkor fel kell tennünk, hogy f(c)>0.

Tétel:

Ha f folytonos a c,g pedig az f(c) pontban, akkor a g◦f összetett függvény folytonos a c pontba.

Bolzano-tétel (K1 128.o)

Ha az f függvény folytonos az [a,b] zárt intervallumon, akkor itt fölvesz minden f(a) és f(b) közötti értéket, azaz tetszőleges, f(a) és f(b) közötti y₀ számhoz létezik olyan c[a,b], amelyre f(c)=y₀

Összefoglalás II. [analizis]

Térelemek

Egyenes

Egyenelet:

P=(x₁,y₁,z₁) v=(a,b,c)

x-x₁=t·a

y-y₁=t·b

z-z₁=t·c

Egyenes és pont távolsága

A Q pont és a P ponton átmenő v irányvektorú egyenes távolsága:

Sík

Egyenlet:

n(A,B,C) r₁=(x₁,y₁,z₁)

d=n·r₁

A·x+B·y+C·z-d=0

Pont és sík távolsága

Adott Q pont és S sík. Legyen P az S sík egy tetszőleges pontja, ekkor Q és S távolsága:

Komplex számok

Algebrai alak

a, b R alakú kifejezéseket komplex számoknak nevezzük, ahol i az a szám, melyre i²=−1. A komplex számok halmazát C jelöli.

Műveletek

Komplex számsík

Komplex számok ábrázolása, komplex számsík, komplex számgömb. Ez egy kétdimenziós tér, ahol az egyik koordináta tengelyre a valós a másik koordináta tengely pedig a képzetes értéket mérjük.

Trigonometrikus alak

Vegyünk fel a síkban egy O kezdőpontú p félegyenest, és a sík minden egyes O-tól különböző P pontjához rendeljük hozzá az (r,φ) számpárt, ahol r=(pólustávolság) és φ=(p,) (irányszög). Az O pontra r = 0,φ tetszőleges. Az így definiált koordináta rendszert síkbeli polárkoordináta rendszernek nevezzük.

Derékszögű koordináta-rendszerben adott (a, b) pont (r, φ) polárkoordinátáit az

egyenletek felhasználásával, a polárkoordináta-rendszerben adott (r, φ) pont (a, b) derékszögű koordinátáit az

a=r cos φ b=r sin φ

egyenletek felhasználásával számítjuk ki. (Az r = r(φ) egyenletű geometriai alakzat egyenletében az irányszöget mindig radiánban mérjük.)

Ha a z=x+yi komplex számban x-et és y-t az előző egyenletek szerint helyettesítjük, akkor a komplex szám z=r(cos φ + i sin φ) trigonometriai alakját kapjuk.

Legyen z₁=r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) és z₂=r₂(cos φ₂ + i sin φ₂). Ekkor

z₁z₂=r₁r₂(cos(φ₁+ φ₂) + i sin(φ₁+ φ₂)),

Tetszőleges komplex számra és tetszőleges egész n-re

(r(cos φ+i sin φ))ⁿ=rⁿ(cos(nφ) + i sin(nφ)).

A z komplex szám n-edik gyökein az uⁿ=z (u, zC; nN⁺)

egyenlet összes komplex u megoldását értjük.

Bármely, zérustól különböző komplex számnak n darab különböző komplex n-edik gyöke van, ha n pozitív egész, és a z = r(cos φ + i sin φ) (r0) komplex szám összes különböző komplex n-edik gyökét megadja a következő képlet:

ahol a valós r szám valós n-edik gyökét jelenti. A 0 komplex szám egyetlen n-edik gyöke 0.

Függvényhatárérék

Függvényhatárérék (K1 93.o)

Tegyük fel, hogy f(x) függvény értelmezve van valamely, az x₀-t tartalmazó nyílt intervallum – esetleg x₀ kivételével – minden pontjában. Azt mondhatjuk, hogy f(x)L-hez, amint x tart x₀-hoz (f(x) határétéke az x₀ helyen L), szimbolikusan tart

ha bármely ε>0 számhoz van olyan δ>0 szám, hogy minden x esetén

Tételek

és

Biz:

a. Rögzítsünk egy ε>0 számot. Találnunk kell egy δ>0 számot, amelyre teljesül, hogy fennállásból következik. Ez azonban tetszőleges ε-nál nem nagyobb δ esetén teljesül. Ez pedig azt jelenti, hogy .

b. Legyen ε>0 számot. Most olyan δ-t kell találnunk, amelyre teljesül, hogy fennállásból következik. Mivel azonban
k-k=0 a szóbanforgó implikáció bármely pozitív δ esetén igaz. Ez pedig azt jelenti, hogy .

Hogyan keressük meg az f,L,x₀ és ε>0 négyesnek megfelelő δ-t? (K1 96.o)

Azt a δ-t, amelyre teljesül, hogy tetszőleges x esetén

két lépésben keressük meg.

1. Az egyenlőtlenségnek megoldásával keressünk egy (a,b) nyílt intervallumot, amelyre minden x₀-tól különböző elemére teljesül az egyenlőtlenség.

2. Adjuk meg egy δ>0 számot, amelyre teljesül, hogy az x₀ középpontú nyílt intervallum az I(a,b) intervallum belsejébe esik. Az egyenlőtlenség természetesen az így megadott δ-intervallum x₀-tól különböző elemeire is teljesül.

Igazoljuk,hogy ha és akkor

Biz:

Legyen adott ε>0. Meg kell adnunk egy pozitív δ-t amelyre teljesül, hogy minden x esetén

A tagokat átrendezve és a háromszög-egyenlőtlenséget felhasználva a következőt kapjuk:

Mivel , a megadott ε-hoz létezik olyan δ₁>0, amelyre teljesül, hogy minden x-re

Hasonlóan, mivel , a megadott ε-hoz létezik olyan δ₂>0, amelyre teljesül, hogy minden x-re:

Legyen eztuán δ=min{δ₁,δ₂}. Ha most , akkor , az utóbbi következtében pedig , ezen felül , és így is fennáll. Mindezek következtében

ami azt bizonyítja, hogy valóban .

Szendvicstétel (K1 89.o)

Tegyük fel, hogy valamely, a c pontot tartalmazó nyílt intervallum minden (de legalábbis c kivételével minden) x elemére teljesül g(x)f(x)h(x). Ha ezen felül akkor fennáll

Jobb és baloldali határérték (K1 104.o)

Azt mondjuk,hogy az f függvény jobb oldali határértéke az x₀ helyen az L szám – jelölése: –, ha minden ε>0 számhoz létezik olyan δ>0 szám, amelyre teljesül, hogy minden x-re .

Azt mondjuk,hogy az f függvény bal oldali határértéke az x₀ helyen az L szám – jelölése: –, ha minden ε>0 számhoz létezik olyan δ>0 szám, amelyre teljesül, hogy minden x-re .

Az f függvénynek pontosan akkor létezik a c helyen vett határértéke, ha ugyanitt létezik mind a jobb, mind a bal oldali határértéke, és ezek egyenlőek.

és .

Összefoglalás I. [analizis]

Összetett függvény

Az f és g függvényekből képzett f ◦ g összetett függvényt az

Képlettel értelmezzük. Az f ◦ g összetett függvény értelmezési tartománya a gx elemek halmaza, amelyek a g(x) függvényérték az f értelmezési tartományának eleme. értelmezési tartományából vett azon

Függvény transzformáció (K1 46.o)

c>1

y=cf(x) f grafikonját az y-tengely irányába c-szeresére nyújtja

y= f grafikonját az y-tengely irányába c-ad részére zsugorítja

y=f(cx) f grafikonját az x-tengely irányába c- ad részére zsugorítja

y=f(x/c) f grafikonját az x-tengely irányába c-szeresére nyújtja

c=-1

y=-f(x) tükrözi f grafikonját az x-tengelyre

y=f(-x) tükrözi f grafikonját az y-tengelyre

Trigonometrikus fügvények (K1 52.o)

Teljes indukció

A teljes indukció a direkt bizonyítás egyik fontos típusa. Jelöljön A(n) olyanállítást, amely az n egész számtól függ. A bizonyítás három lépésből áll. Először megmutatjuk,hogy az állítás igaz az első pár elemre. Majd megmutatjuk,hogy van olyan n₀ egész szám, hogy az A(n₀) állítás igaz. Ezután feltesszük, hogy valamennyi egész számra A(n) igaz, s ennek alapján bebizonyítjuk, hogy A(n+1) is igaz. Ezekből már következik, hogy A(n) igaz minden n n₀ esetben.

Logika

A P és Q elemi ítéletekre vonatkozó logikai alapműveleteket (konjunkció (),

diszjunkció (), implikáció (), ekvivalencia (), negáció (¬)) táblázatos defníciói:

Két logikai kifejezést akkor és csak akkor tekintünk azonosan egyenlőnek, ha logikai értékük a bennük szereplő logikai változók bármely értékére azonos. Az azonosság jele .

Azonosságok:

(PQ)RP(QR) (PQ) RP(QR) asszociativitás

PQQP PQQP kommutativitás

PPP PPP idempotencia

(PQ)QQ (PQ)QQ elnyelés

P(QR)(PQ)(PR) P(QR)(PQ)(PR) disztributivitás

P1P P00 P11 P0P

P¬P0 P¬P1 ¬(¬P)P

¬(PQ)¬P¬Q ¬(PQ)¬P¬Q De Morgan-azonosságok

PQ¬PQ ¬(PQ)P¬Q

PQ¬Q¬P kontrapozíció

PQ (PQ)(QP) PQ(PQ) (¬P¬Q)

PQ¬PQ bizonyítás

Kvantorok

A xP(x) és a xP(x) jelölések jelentése: „minden x-re (igaz, hogy) P(x)”és „van olyan x, hogy P(x)”. A ill. a jel neve univerzális ill. egzisztenciális kvantor.

: „minden”, „tetszoleges”, „bármely”, „akármelyik”, „bármikor”...

: „van”, „van olyan”, „létezik”, „található olyan”, „megesik”...

¬xP(x) x¬P(x) ¬xP(x)x¬P(x) kvantoros ítéletek tagadása

Vektorok

Vektorműveletek

Összeadás: Parallelogramma módszer: a két összeadandó kifeszít egy parallelogrammát, a közös pontból kiinduló átló az összegvektor.

Más módszer: a vektorokat egymás végpontjaiba mérjük fel, az első kezdőpontját az utolsó végpontjával összekötve kapjuk az összegvektort. Így egyszerre több vektor is összegezhető.

Kivonás: A különbségvektor a kifeszített parallelogramma másik átlója, a kisebbítendő felé mutat.

Vektor szorzása skalárral: a vektor hossza változik, ha a skalár negatív, ellenkező irányú lesz.

Definíciók,tételek

1. Valamely b vektorról akkor mondjuk, hogy előállítható az a₁, a₂,..., a_r vektorok lineáris kombinációjaként, ha találhatók olyan k₁, k₂,...,k_r valós számok, hogy b=k₁a₁+k₂a₂+…+ k_ra_r.

2. Az {a₁, a₂,..., a_r} vektorrendszert lineárisan függetlennek nevezzük, ha a k₁a₁+ +k₂a₂ +…+ k_ra_r=0 egyenlőség csak a k₁= k₂=...=k_r=0 értékekkel teljesül.

3. Két vektor akkor és csak akkor egyező állású, ha legalább egyikük a másik számszorosa, mégpedig, ha a és b egyező állásúak és b ≠ 0, akkor van olyan k R, hogy a = kb.

4. Ha két vektor nem kollineáris, akkor a velük komplanáris bármely vektor előállítható a két vektor lineáris kombinációjaként, és ez az előállítás egyértelmű.

5. Három vektor akkor és csak akkor komplanáris, ha van közöttük olyan, amelyik a másik kettőnek lineáris kombinációja.

6. Három, nem komplanáris vektor lineáris kombinációjaként a tér bármely vektora előállítható, és ez az előállítás egyértelmű.

7. Ha az {a₁, a₂,..., a_r} vektorrendszer lineárisan független, akkor bármely

p₁a₁ + p₂a₂ +...+ p_ra_r = q₁a₁ + q₂a₂ +…+ q_ra_r

egyenlőség csak úgy teljesülhet, hogy p₁ = q₁, p₂ = q₂,..., p_r = q_r .

8. Legalább két vektorból álló rendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha a rendszer egyetlen eleme sem állítható elő a többiek lineáris kombinációjaként.

9. Vegyük fel, közös kezdőponttal, a páronként egymásra merőleges, egységnyi hosszúságú i, j, k kötött vektorokat úgy, hogy ebben a sorrendben jobbrendszert alkossanak. A 6. tétel értelmében a tér bármely v vektorához megadható egyetlen olyan a, b, c valós számhármas, hogy
v= ai + bj + ck. Az a, b, c számokat a v vektor ({i, j, k} alapvektor-rendszerre vonatkozó) koordinátáinak nevezzük. Azt, hogy a, b, c a v koordinátái, így jelöljük:

v= [a, b, c] vagy v

10. Ha a = [a₁, a₂, a₃], b = [b₁, b₂, b₃] és k adott szám, akkor

a + b = [a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃] és ka = [ka₁, ka₂, ka₃] .

Az a és b vektor akkor és csak akkor egyenlő, ha a₁ = b₁, a₂ = b₂, a₃ = b₃. Megjegyzés: A vektor koordinátái függnek az alapvektorok megválasztásától. Az előbbi (és a később felírandó) minden koordinátás egyenlőség természetesen úgy értendő, hogy az egyenlőségben szereplő vektorok koordinátái ugyanarra az alapvektor-rendszerre vonatkoznak.

Skaláris szorzat: (Bizonyítás is!)

Az a és b vektorok skaláris szorzatát ab-vel jelöljük, és azon a következő számot értjük: ab=|a|·|b|·cos(α). Egy a vektor önmagával képezett skaláris szorzatát az a vektor négyzetének is nevezzük, és ennek megfelelően a²-tel is jelöljük.

Ha a = [a₁, a₂, a₃], b = [b₁, b₂, b₃], akkor ab= a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ .

Tetszőleges a vektorra |a|=. Ha a=[a₁, a₂, a₃], akkor

|a| =.

Két vektor skaláris szorzata pontosan akkor zérus, ha a két vektor merőleges egymásra.

Ha e egységvektor, akkor az ea skaláris szorzat abszolút értéke egyenlő az ae irányába eső merőleges vetületének hosszával. Ha az ea szorzat nem zérus, akkor előjele aszerint pozitív, illetve negatív, hogy az előbbi vetületi vektor iránya megegyező, vagy ellentétes az e irányával. vektor

Vektoriális Szorzat:

Az a és b vektorok vektoriális szorzatát axb-vel jelöljük, és azon a következő számot értjük: axb=|a|·|b|·sin(α). A szorzat eredménye egy vektor, amely merőleges az a és b által meghatározott síkra.

Ha a = [a₁, a₂, a₃], b = [b₁, b₂, b₃], akkor

axb

Vektor vetülete

Parallelepipedon térfogata

V=|a·b·c|

ab=0 ha a és b vektorok merőlegesek egymásra.

axb=0 ha a és b vektorok párhuzamosak egymásra.

a·b·c =0 ha legalább egy vektor nullvektor.

Feladatok és megoldások [jarmugeptan]

Németh István

Tartalom

1. Mértékrendszer, méréstechnikai alapismeretek

2. Gépek mechanikai folyamatai

3. Gépek áramlástani folyamatai

4. Gépek termodinamikai folyamatai

5. Gépek együttműködése és irányítása

Felhasznált és ajánlott irodalom:

Dr. Szabó András: MÉRNÖKI FIZIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Műegyetemi Kiadó, 1998. - 75006

Feladatmegoldás ajánlott fő lépései:

1. A rendelkezésre álló adatok kigyűjtése a feladatkiírásból.

2. Adatok átváltása SI mértékrendszerbe.

3. A felhasználandó fizikai összefüggések felírása.

4. Az összefüggések átalakítása, az ismeretlen(ek) kifejezése.

5. Behelyettesítés.

6. Végeredmény.

7. Szükség esetén a végeredmény átváltása a kívánt mértékegységbe.

A segédletben előforduló hibákat kérjük jelezze a Vasúti Járművek Tanszéken,

hogy a későbbiekben kijavíthassuk. Fáradozását előre is köszönjük!

1.1.

Egy egyenáramú villamos motor hatásfokát akarjuk meghatározni egy adott üzemállapotban. Mérjük a P₁ bemenő villamos teljesítményt, a motor tengelyén leadott M₂ nyomatékot és az n₂ fordulatszámot. Az öt független mérés eredményeit az adattáblázat tartalmazza.

a) Határozza meg a mért mennyiségek számtani középértékét (P_a, M_a, n_a) és az egyes mérési eredmények relatív hibájának közelítő értékét (h_P1, h_M2, h_n2)!

b) Vezesse le a hatásfok relatív hibájának képletét a P₁, M₂ és n₂ relatív hibájának függvényében!

c) Számítsa ki a motor h_K közelítő hatásfokát, és a b) pontban kapott összefüggés felhasználásával határozza meg a hatásfok relatív hibájának h_h közelítő értékét az egyes mérésekre vonatkozóan!

d) Adjon becslést a hatásfok közepes relatív hibájára (h_hK)!

Adatok:

P1 [W]	37169	35898	37546	35958	36297
M2 [Nm]	229.6	224.9	232.1	223.4	228.1
n2 [1/s]	25.4	24.4	24.6	24.4	24.3

1.1. megoldás

a)

hP1 [%]	1.63	-1.85	2.66	-1.68	-0.76
hM2 [%]	0.87	-1.19	1.97	-1.85	0.21
hn2 [%]	3.17	-0.89	-0.08	-0.89	-1.30

b)

c)

hi [%]	98.58	96.05	95.56	95.25	95.95
Hh [%]	2.41	-0.24	-0.77	-1.06	-0.33

d)

1.2.

Egy kút mélységét időméréssel kívánjuk meghatározni oly módon, hogy a kútba köveket ejtünk, és mérjük a kövek elejtésétől a vízbeesésükig eltelt időt.

Öt egymást követő független mérés a t adatsorozatot szolgáltatta.

(A nehézségi gyorsulás ismert értéke g = 9,80665 m/s², és a számítás során a légellenállás hatásától eltekintünk.)

a) Határozza meg az időadatok t_a átlagértékét és s* korrigált tapasztalati szórását!

b) Határozza meg az egyes mérések relatív hibájának h_t közelítő értékét! (Látszólagos relatív hiba)

c) Az idő t_a átlagértékéből kiindulva határozza meg a kút H közelítő (értékét) mélységét!

d) Az időmérés relatív hibájából kiindulva adja meg a mélységmérés relatív hibájának meghatározására szolgáló összefüggést, és ennek alapján határozza meg a mélységmérés h_H relatív hibáját az egyes mérésekre vonatkozóan!

Adatok:

t [s]

3.5

4.0

3.7

3.1

3.8

1.2. megoldás

a)

b)

ht [%]

-3.31

10.5

2.21

-14.36

4.97

c)

d)

hH [%]

-6.63

20.99

4.42

-28.73

9.94

1.3.

Egy rugóra vonatkozóan az F erő és az y deformáció közötti kapcsolatot méréssel vizsgáljuk. A mérési eredmények a táblázat szerinti értékeket szolgáltatták.

A vizsgált rugó előfeszítés nélküli, így az erő és a deformáció kapcsolata F = s _* y lineáris alakban vehető fel.

a) Vezesse le az s meghatározására szolgáló képletet a legkisebb négyzetek módszerének alkalmazásával!

b) Számítsa ki s optimális értékét a mérési eredmények alapján (s')!

c) Optimális s' esetén határozza meg az y megadott értékeihez tartozó F' számított függvényértékeket, és a célfüggvény F' értékét!

Adatok:

y [mm]	20	40	48	56	65
F [N]	35.1	68.0	82.5	95.4	111.4

1.3. megoldás

F

F'(yi)

y

yi

Fi

{Keressük azt az egyenest, amelynél a "kis négyzetek" összterülete a legkisebb.}

a)

F = s _* y

!

!

(A F(s) - célfüggvény legyen minimális!)

b)

c)

F' =s' _* y

F' [N]

34.2

68.5

82.2

95.8

111.3

(A számított értékeket egy tizedesjegy pontossággal adjuk meg, hiszen a mért értékek is csak ilyen pontosságúak voltak!)

1.4.

Egy számítógép vezérlésű (CNC) esztergagépen tengelyeket gyártunk. A tengelyek előírt (névleges) átmérője d_n, a megengedett tűrése (a névleges mérettől való eltérése) ± Dd. A tengelyek átmérőjét méréssel meghatározzuk. Az öt független mérés eredményét a táblázat tartalmazza.

a) Határozza meg a mért átmérőadatok d_a átlagértékét és s^* korrigált tapasztalati szórását!

b) Határozza meg az egyes mérések relatív hibájának közelítő értékét (h_d)! /h_d - látszólagos relatív hiba/

c) Adja meg a tengely keresztmetszet (A) relatív hibájának (h_A) meghatározására szolgáló összefüggést, és ennek alapján határozza meg a keresztmetszet relatív hibáját ez egyes mérésekre vonatkozóan!

d) Feltesszük, hogy a mérési eredmények Gauss-féle (normális) eloszlást követinek. A gép beállításai megfelelőek, ha selejtes (tűrésen kívül eső) alkatrészek aránya legfeljebb 5%. Kérdés, hogy megfelelő-e az esztergagép beálltása?

Adatok:

d_n = 40 mm

Dd = 0.1 mm

d [