Szponzorált hirdetés

Regisztráció az 50$-os ingyenes kezdőtőke megszerzéséhez ( póker -kvíz kitöltése után - többszöri próbálkozás és tesztenként 1 órás kitöltési határidő mellett további információk)

Önrész befizetésével bónusz szerzés lehetőségével való regisztráció. ( hasznos segítségek a regisztrációs lehetőségek, alatt található linkek között vagy itt + az online kifizetésről szóló bejegyzések a hasznos oldalak menü alatt - paypal, moneybookers | innen töltheted le a PartyPoker klienst)



Gif Banners

2008. január 18., péntek

Az alsó- és a felső integrálközelítő összeg [analizis]

Ha a \( \sigma_n \) összegben az \( f(\xi_i) \) helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk akkor a felső integrálközelítő összeghez jutunk:


\begin{displaymath}s_n = \sum\limits_{i=1}^n{ M_i(x_i-x_{i-1})} \end{displaymath}

ahol \( M_i \) a függvény felső határa az \( [x_{i-1},x_i] \) intervallumon.

Hasonló az alsó integrálközelítő összeg definíciója is:

\begin{displaymath}S_n = \sum\limits_{i=1}^n{ m_i(x_i-x_{i-1})}, \end{displaymath}

ahol \( m_i \) az függvény alsó határa az \( [x_{i-1},x_i] \) intervallumon. (Függvény alsó és felső korlátját ill. alsó és felső határát lásd a tankönyv 50. oldalán.)

Amennyiben létezik az \( \int\limits_a^b f\) integrál, akkor \(s_n \le \int\limits_a^b f \le S_n\). Ilymódon az integrált ,,két érték közé tudjuk szorítani ''.

A primitív függvény fogalma és a Newton-Leibnitz-formula

Az $I$ (véges vagy végtelen) intervallumon értelmezett \(f\) függvény primitívfüggvényének\(F\) függvényt, ha \( F'(x)=f(x) \) teljesül bármely \(x\in I\) esetén. (Azaz ha F deriváltja az eredeti f függvény.) nevezzük az

Ha egy \(F(x)\) függvény primitív függvény, akkor \( F(x)+C \) is az. (Mivel \(C\) egy konstans, annak a deriváltja pedig nulla.) Tehát egy függvénynek végtelen sok primitívfüggvénye van, de ezeket egy konstans hozzáadásával megkapjuk egymásból.

Emlékezzünk rá, hogy a derivált a függvény ,,változási gyorsaságát'' jelentette, azaz a grafikonjának a meredekségét. Ha hozzáadunk egy konstanst, akkor a függvény képe a konstans előjelétől függően felfelé vagy lefelé tolódik. Nyilván ezzel minden pontban ugyanaz marad a meredeksége. A három grafikonon ábrázolt függvény deriváltfüggvénye tehát ugyanaz lesz.

1mm
\begin{picture}(75,35)(-10,-5) \thicklines \put(-5,0){\vector(1,0){60}} \put(0... ...\put(-3,30){\makebox(0,0)[t]{y}} \put(55,-3){\makebox(0,0)[r]{x}} \end{picture}

példa 1 Az \( f(x) \) legyen a \( \sin x\) függvény. Ennek egy primitív függvénye a \(-\cos x\) függvény, hiszen \((-\cos x)' = \sin x\), de a \(-\cos x +5\) függvény is primitívfüggvény. Általánosan a \(-\cos x+C\) alakú függvények primitívfüggvényei a \( \sin x\) függvénynek.

Bebizonyítható, hogy a határozott integrál a következőképpen számolható:

\framebox{ Newton--Leibnitz-formula: \( \int\limits_a^b f(x) \,\mathrm{d}x = \Big[ F(x) \Big]_a^b \)}
Ahol az \(F(x)\) függvény az \( f(x) \) függvény primitívfüggvénye, a \( \Big[ F(x) \Big]_a^b \) pedig egy új jelölés az \( F(b)-F(a)\) kifejezésre.

példa 2 ( _^32 x dx = [ -x ) _^32= -32 - (-) = 0 - 1 = -1

Érdemes felrajzolni a szinusz függvény grafikonját, megvizsgálni a \( \big[ \pi , \frac{3\pi}2 \big] \) intervallumba eső részét. Vajon miért lesz az integrál értéke negatív?

0 megjegyzés

Címkék: ,

A Riemann-integrál [analzis]

A Riemann-integrál fogalma

RIEMANN (1826-1866) vezette be a függvénygörbe alatti terület első precíz definícióját. Őróla nevezzük ezt Riemann-integrálnak. Általában erre használjuk a határozott integrál megnevezést.

Milyen adatok jellemeznek egy ilyen integrált? Az függvény és az intervallum, amin integrálunk. Az -t az integrál alsóhatárának, a -t az integrál felsőhatárának nevezzük. (Lásd 2.ábra)

Ábra: Ábra a Riemann-integrál fogalmához

Hogyan kapjuk meg ezt az értéket? Osszuk fel az intervallumot részre az ponthalmazzal, ahol . Ezt az felosztásának nevezzük. Az így keletkező intervallumokat nevezzük részintervallumoknak. A felosztás finomságának nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Jele: (A továbbiakban az 3. ábrán érdemes követni az itt leírtakat.)




képlettel definiált összeget az integrál egy n tagú közelítő összegének nevezzük. Ezt a jelölésekkel


alakba is átírhatjuk.

A felosztásokból készíthetünk a (számsorozatok mintájára) végtelen sorozatokat: Ezeket nevezzük felosztássorozatoknak. Ha a felosztáok finomságainak sorozata nullához tart a sorozatot normális felosztássorozatnak vagy minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezzük.

Amennyiben minden normális felosztássorozat esetén a közelítő összeg ugyanahhoz az I számhoz tart, akkor azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható az intervallumon. Az I értéket nevezzük a függvény Riemann-integráljának. Jele: vagy röviden: .

A definíció szerint



a tart nullához feltétel mellett.

Bebizonyítható, hogy minden folytonos függvény Riemann-integrálható.

0 megjegyzés

Címkék:

Racionális törtfüggvények integrálása, parciális törtekre bontás [analzis]

Racionális törtfüggvények integrálása

Általában az \(a_n x^n+\ldots+a_2 x^2+a_1 x+a_0\) alakban írható függvényeket polinomoknak nevezzük.

Egy n-edfokú polinomnak maximum n valós gyöke lehet. Mi a továbbiakban csak ezzel a nagyon szerencsés esettel foglalkozunk. (Általánosítva megtalálható a tankönyvben.) A polinom ekkor úgynevezett gyöktényezős alakban is felírható. Ennek általános alakja:

\begin{displaymath}a_n(x-x_1)(x-x_2)\ldots(x-x_n),\end{displaymath}

ahol $a_n$ a legnagyobb kitevőjű tag együtthatója, \(x_1, x_2,\ldots, x_n\) pedig a polinom gyökei. Az n gyök nem feltétlenül különböző. Ilyenkor azt mondjuk, hogy vannak többszörös gyökei. Ha $S$\(a_n(x-x_1)^{l_1}(x-x_2)^{l_2}\ldots(x-x_S)^{l_S}\) alakban is. különböző gyök van, a gyöktényezős alak felírható

Például az \(2x^4-2x^3-12x^2\) polinom átalakítható kiemeléssel \(2x^2(x^2-x-6)\) alakra. A zárójelben levő másodfokú polinom gyökeit meghatározhatjuk: $-3$ és $2$; így ez gyöktényezős alakba írva: \((x+3)(x-2)\). Tehát az eredeti polinomot átírhatjuk gyöktényezős alakba:

\begin{displaymath}2x^4-2x^3-12x^2=2x^2(x+3)(x-2)=2(x-0)^2(x+3)(x-2). \end{displaymath}

(Ennek a negyedfokú egyenletnek 4 gyöke van, $S=3$ különböző gyöke.) Az utolsó alakot csak azért írtuk fel, hogy lássuk ez valóban gyöktényezős alak. Látjuk hogy itt a 0 kétszeres gyök. A $-3$ és a $+2$ egyszeres gyökök.

Racionális törtfüggvényeknek nevezzük a két polinom hányadosaként előállítható függvényeket. Például a

\begin{displaymath}\frac{x^2+x-2}{x^4+14x^3+76x^2+162x+135}=\frac{(x-1)(x+2)}{(x-5)(x+3)^3}\end{displaymath}

törtek egy racionális törtfüggvény két alakja, melynek a nevezője egy harmadfokú függvény. nevező gyökei $5$ és $-3$. A $-3$ háromszoros az $5$ egyszeres gyök, mert az $x+3$ tényező harmadik hatványon van, az $x-5$ tényező első hatványon.

Az integrálás elvégzéséhez a függvényt először parciális törtekre kell bontanunk.

Parciális törtekre bontás

A továbbiakban azzal az esettel fogunk foglalkozni, amikor a racionális törtfüggvény nevezője gyöktényezőkre bontható, és a számláló fokszáma kisebb mint a nevezőé. Bebizonyítható, hogy a
\begin{displaymath}\frac{b_k x^k+\ldots+b_2 x^2+b_1 x+b_0}{a_n(x-x_1)^{l_1}(x-x_2)^{l_2}\ldots(x-x_S)^{l_S}}\end{displaymath}

tört ilyenkor mindíg átírható
\begin{displaymath}\frac{A_{11}}{(x-x_1)}+\frac{A_{12}}{(x-x_1)^2}+\ldots\frac{A_{1l_1}}{(x-x_1)^{l_1}}+\end{displaymath}


\begin{displaymath}+\frac{A_{21}}{(x-x_2)}+\frac{A_{22}}{(x-x_2)^2}+\ldots\frac{A_{2l_2}}{(x-x_2)^{l_2}}+\ldots+\end{displaymath}


\begin{displaymath}+\frac{A_{S1}}{(x-x_S)}+\frac{A_{S2}}{(x-x_S)^2}+\ldots\frac{A_{Sl_S}}{(x-x_S)^{l_S}} \end{displaymath}

alakra, ahol az $A_{ij}$ valós számokat jelöl, melyeket nekünk kell meghatároznunk. Az egyes tagokat nevezzük parciális törteknek. Ez a képlet elsőre elég félelmetesnek tűnhet. Gyakorlatban, mint nemsokára látjuk ez álatalában egyszerűbb.

Az $A_{ij}$ valós számok meghatározását konkrét példán nézzük meg. A \(\displaystyle\frac{3x^2-17x+16}{x^3-8x^2+16x}\) átlakítható \(\displaystyle\frac{3x^2-17x+16}{x(x-4)^2}\) alakra. A fenti állítás szerint ez felírható

\begin{displaymath}\frac{A}{x}+\frac{B}{(x-4)}+\frac{C}{(x-4)^2}\end{displaymath}

alakban. Példákban az egyszerűség kedvéért nem az $A_{ij}$ jelöléseket szoktuk használni.

Végezzük el a közös nevezőre hozást. Ekkor a nevezőben \(A(x-4)^2+Bx(x-4)+Cx= Ax^2-8Ax+16A+Bx^2-4Bx+Cx= (A+B)x^2+(-8A-4B+C)x+16A\) kifejezést kapjuk. Ennek egyeznie kell az eredeti tört nevezőjével. Ez bizonyíthatóan csak akkor teljesül, ha az azonos kitevőjű tagok együtthatói megegyeznek a két polinomban. Tehát a következő egyenletrendszert kapjuk:

\begin{eqnarray*} A+B&=&3\\ -8A-4B+C&=&-17\\ 16A&=&16 \end{eqnarray*}



Ebből A, B és C értéke meghatározható:
\begin{eqnarray*} A&=&1\\ B&=&2\\ C&=&-1. \end{eqnarray*}



Tehát az eredeti tört az
\begin{displaymath}\frac{1}{x}+\frac{2}{(x-4)}-\frac{1}{(x-4)^2}\end{displaymath}

alakba írható át.

A parciális törtek integrálása

Ezután már nincs nehéz dolgunk. A racionális törtfüggvényt parciális törtek összegére bontottuk, ezek nevezője vagy $x-x_i$ vagy \((x-x_i)^n\) alakú 1)\)" align="middle" border="0" height="31" width="55">. Mindegyik esetre konkrét példát mutatunk.
\begin{displaymath}\int{\frac{2}{(x-4)}\,\mathrm{d}x}=2\cdot\mathrm{ln}\,\vert x-4\vert+C\end{displaymath}


\begin{displaymath}\int{\frac{3}{(x-4)^6}\,\mathrm{d}x}=3\int{(x-4)^{-6}\,\mathrm{d}x}= -\frac{3}{5(x-4)^5}+C\end{displaymath}

0 megjegyzés

Címkék: , , , ,

Határozatlan integrál, alapintegrálok, parciális integrálás [analzis]

A határozatlan integrál

Láthatjuk, hogy a primitívfüggvény segítségével elég könnyen meghatározható a határozott integrál. Ennek meghatározása viszont sokszor nagyon nehéz. A feladat megoldásához hasznos fogalom a határozatlan integrál.

A határozatlan integrál fogalma

Az \( f(x) \) függvény primitívfüggvényeinek összességét nevezzük az f függvény határozatlan integráljának.
Jele: \(\int {f(x)\,\mathrm{d}x}\)

Az integrálandó függvényt (itt \( f(x) \)-et) integrandusnak nevezzük.

példa 3 Az \( f(x) \) legyen a \( \sin x\) függvény. Ennek egy primitív függvénye a \(-\cos x\) függvény, tehát
\begin{displaymath}\int{ \sin x \,\mathrm{d}x} = -\cos x +C.\end{displaymath}
(Itt a \( \sin x\) az integrandus.)

Az integrálás szabályai és az alapintegrálok

Az integrálás szabályai a tankönyv 202. oldalán található tételekben szerepelnek.

A továbbiakban használni fogjuk a tankönyv 201. oldalán szereplő integráltáblázatot. Gyakorlásképpen ellenőrizhetjük annak helyességét.

példa 4 A táblázat szerint \(\int {x^n \,\mathrm{d}x}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\). Valóban, hiszen a jobboldal deriváltja
\begin{displaymath}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\right)'= \left(\frac1{n+1}x^{n+1}\right)'=\frac1{n+1} (n+1)x^n=x^n.\end{displaymath}
Mivel $C$ deriváltja $0$, sosem kell vele ellenőrzéskor foglalkozni.

Általános szabály a határozatlan integrál meghatározásához

Bontsuk gondolatban tagokra az integrálandó függvényt (azaz az integrandust), (ezeket külön-külön integrálhatjuk), majd gondolatban emeljük ki az együtthatókat.

példa 5 Mivel lesz egyenlő
\begin{displaymath} \int{4\sin x+\frac{4e^x}{3}-\frac{\pi}{4x}} \,\mathrm{d}x ? \end{displaymath}

Megoldás: Ez az integrál három tagból áll. Az első együtthatója 4, a másodiké \( \frac{4}{3} \), a harmadiké \( -\frac{\pi}{4} \). Mindegyik függvény integrálját megtalálhatjuk a táblázatban, így az eredmény könnyen adódik:


\begin{displaymath}\int{4\sin x+\frac{4e^x}{3}-\frac{\pi}{4x} \,\mathrm{d}x = 4... ...thrm{d}x} =-4\cos x +\frac{4e^x}{3} - \frac{\pi}{4} \ln x }+C \end{displaymath}
A közbenső lépést nem szoktuk leírni, a C konstanst pedig elég egyszer kiírni annak ellenére, hogy három integrálunk van.

A táblázatban nem szereplő függvények integrálása

A függvények integrálása bonyolultabb mint a deriválása. Itt csak a legfontosabb függvénytípusok integrálására található szabály. (Általában igaz, hogy nem minden függvény integrálja írható fel ,,egyszerű'' alakban. Például a \(\int {\sin x \,\mathrm{d}x }\) is csak végtelen sok tagú összegként (végtelen sorként) írható fel.)

Az integrandus $ f(ax+b) $ alakú

Ilyenkor egy primitív függvény az \( \frac{F(ax+b)}a\)


\begin{proof} Az \(F(ax+b)\)függvény összetett függvény, deriváltja \(F'(ax+b)\... ...f(ax+b)\cdot a \) tehát \( \left( \frac{F(ax+b)}a \right)'=f(ax+b)\) \end{proof}

példa 6
\begin{displaymath}\int{7\sin(3x-2)\,\mathrm{d}x} = -\frac{7cos(3x-2)}3+C \end{displaymath}

Az integrandus $f^n(x)f'(x)$ alakú

Szabály: \framebox{\( \int {f^n(x)f'(x) \,\mathrm{d}x} = \frac{f^{n+1}(x)}{n+1}+C \)} $(n\ne -1)$

(Igazoljuk az állítást!)

Mi a baj az $ n=-1$ esettel?

Az integrandus $\frac{f'(x)}{f(x)}$ alakú

Szabály: \framebox{\( \int {\frac{f'(x)}{f(x)} \,\mathrm{d}x} = \mathrm{ln}\,\vert f(x)\vert+C\)}

Az integrandus $f(g(x))g'(x)$ alakú

Szabály: \framebox{\( \int {f(g(x))g'(x) \,\mathrm{d}x} = F(g(x))+C \)}


\begin{proof} A jobboldali összetett függvény deriváltja \(F'(g(x))g'(x)= f(g(x))g'(x)\). \end{proof}

Általában, ha egy szorzatfüggvényt integrálunk, akkor érdemes megnézni hogy az egyik összetett függvény-e. Ha a másik függvény a belső függvény deriváltja, akkor a szabály alapján integrálhatjuk.

példa 7
\begin{displaymath}\int{\frac{ \sin ( \ln x )}x \,\mathrm{d}x}=?\end{displaymath}
Megoldás: Összetett függvények esetén ellenőriznünk kell, hogy szerepel e szorzóként a belső függvény deriváltja. Itt az integrandus írható $\sin ( \ln x )\frac1x$ alakban. Az $\ln x$ függvény deriváltja az $\frac1x$ függvény, így
\begin{displaymath}\int{\frac{ \sin ( \ln x )}x \,\mathrm{d}x}=-\cos(\ln x)+C\end{displaymath}

Parciális integrálás

Az \framebox{ \( \int{f(x)g'(x) \,\mathrm{d}x} = f(x)g(x)-\int{f'(x)g(x)}\)} azonosság alapján sok esetben egyszerűbb integrálra vezethetjük vissza az eredeti integrált. Ezt nevezzük parciális integrálásnak. (Itt még nem kell kiírni a jobboldalon a C konstanst, hisz azt az integrál tartalmazza.)

Úgy érdemes megjegyezni a módszert, hogy az eredeti integrandusban azt a függvényt érdemes általában vesszős betűvel jelölni, aminek nem bonyolult a primitívfüggvénye. (Ez általában a \( \sin x\), \(\cos x\), \(e^x\) vagy \(a^x\) függvények egyike.) A másik integrálban a másik függvényen van a vessző.

példa 8
\begin{displaymath} \int {\frac{5x \sin x}4 \,\mathrm{d}x } =? \end{displaymath}
Az \( \frac{5}4 \) -et együtthatónak tekintve kiemelhetjük az integrálásból. Mivel az \( x\mapsto \sin x \) fügvény primitivfüggvénye egyszerű, az \( x\mapsto x \) függvénynek, pedig a deriváltja egyszerű, ezért \( f(x)= x \)\( g'(x) = \sin x \) jelölésekkel használjuk a bekeretezett azonosságot. Ekkor \(f'(x)=1\) és \( g(x)=-\cos x\), tehát:
\begin{displaymath} \int {\frac{5x \sin x}4 \,\mathrm{d}x } = -\frac{5x \cos x}4- \frac{5}4\int{ \cos x \,\mathrm{d}x} \end{displaymath}
Ez még nem végeredmény, de az itt szereplő integrálást már könnyen elvégezhetjük. és

Néhány jellemző eset, amikor parciális integrálás alkalmazhatunk

\(f\) \(g'\)
\(x^n\) \(e^x\)
\(x^n\) \(a^x\)
\(x^n\) \( \sin x\)
\(x^n\) \(\cos x\)
Ezekben az esetekben az egymást követő integrálokban az \(x \) egyre kisebb kitevővel fog szerepelni.
\(f\) \(g'\)
\( \sin x\) \(e^x\)
\( \sin x\) \(a^x\)
\(e^x\) \(\cos x\)
\(a^x\) \(\cos x\)
Ezekben az esetekben teljesen mindegy, melyiket jelöljük gondolatban \( f, g'\)-vel. Kétszer alkalmazva a parciális integrálást megapjuk az eredményt.

0 megjegyzés

Címkék: , , , , ,

Feliratkozás: Bejegyzések (Atom)

Szponzorált hirdetés